(НАЗАД) (ДАЛЕЕ)

 

2. Теоретические модели

 

2.1. Теория предельной полезности

2.2. Теория предельной производительности

2.3. Эластичность спроса на товар по его цене

2.4. Модель экономического роста Р. Солоу

(СОДЕРЖАНИЕ)

 

2.1. Теория предельной полезности

Теория предельной полезности исследует поведение потребителя на потребительском рынке. В основу этой теории положено представление о существовании функции полезности, отражающей зависимость полезности набора благ от количеств этих благ, входящих в набор.

Введем обозначения:

i = 1, …, m – номер блага;

х_i – количество i-го блага в наборе;

Х = (х₁, …, х_i, …, х_m) – набор благ;

U = U (X) = U (х₁, …, х_i, …, х_m) – функция полезности набора благ;

P_i – цена i-го блага;

В – бюджет потребителя, т.е. количество денег, которым располагает потребитель для покупок.

Выделим i-е благо. Количество его в наборе будем считать переменной величиной, а количества всех остальных  – постоянными. На рис. 2.1 показан вид функции U = U (x_i) так, как это представляют себе экономисты.

Количество блага измеряется в физических единицах (килограммах, метрах и т.д.). Полезность блага измеряется в специально введенных единицах – ютилях. Это единица условная, она различна для разных людей. Предполагается, что любой человек в состоянии признать полезность какого-то количества блага за единицу (ютиль)  и  в этих единицах измерять полезность всех других благ.

Введем понятие «предельная полезность». Пусть дано некоторое количество блага и его полезность. Под предельной полезностью понимается полезность дополнительной единицы этого блага. Обозначим:

х_i – количество i-го блага;

U_i – полезность данного количества i-го блага;

Δх_i – приращение количества блага;

ΔU_i – приращение полезности;

МU_i – предельная полезность блага.

Тогда:

Определение: предельная полезность блага есть частная производная от функции полезности блага по его количеству.

Свойства функции полезности (рис. 2.1):

1)     функция существует;

2)     проходит через ноль, т.е. U_i = 0  при х_i = 0;

3)     непрерывна;

4)     дифференцируема;

5)     возрастает на всей области определения, т.е. ;

6)     выпукла, т.е. предельная полезность убывает,  .

Свойство убывания предельной полезности получило название первого закона Госсена,  (см. введение). Этот закон не доказывается, точнее – это постулат, а не закон. Каждый человек легко может признать его, наблюдая за своими предпочтениями: предельная полезность блага убывает с ростом его количества.

Благосостояние человека определяется набором благ, которым он обладает. Разумность экономического человека состоит в том, что он стремится получить в свое распоряжение набор благ наибольшей полезности,  действуя в рамках закона и нравственности.

Для потребителя возникает оптимизационная задача – найти набор благ наибольшей полезности при ограничении по бюджету.

Целевая функция:

U = U (х₁, …, х_i, …, х_m) .

Ограничения:

Смысл ограничений: первое – покупки ограничены бюджетом, второе – блага потребителем либо покупаются, либо нет, но не продаются. Сформулированная задача является задачей на условный экстремум. Составим функцию Лагранжа:

В этой функции к полезности добавлено ограничение по бюджету, умноженное на дополнительную переменную Лагранжа l. Величина   есть оставшаяся (неизрасходованная) сумма денег. Экономический смысл переменной l – предельная полезность оставшихся денег.

В математике доказана теорема, из которой следует, что функция Лагранжа имеет экстремум, который совпадает с максимумом функции полезности при ограничении по бюджету и неотрицательных переменных. Необходимым и достаточным условиями экстремума является равенство нулю частных производных от функции Лагранжа по всем переменным.

Полученная система уравнений содержит m+1 переменных и m+1 уравнений. Если бы функция полезности была выражена в явном виде, то решение этой системы дало бы оптимальный набор благ :

X*  = (x₁*,…,x_i*,…,x_m*).

Так как функция полезности не выражена явно, продолжим анализ, чтобы  выявить условия,  которым отвечает оптимальный набор благ. Выше было дано определение предельной полезности, из которого следует, что  . Заменив частные производные на МU_i  и выполнив некоторые преобразования, получим систему уравнений:

Проанализируем экономический смысл полученной системы. МU_i – предельная (добавочная) полезность единицы (килограмма, метра и т.д.) блага, а Р_i – цена этой единицы, допустим, в рублях. Тогда величина есть предельная полезность такого количества блага, которое можно купить за 1 руб. Таким образом,  есть предельная (добавочная) эффективность затраты 1 руб. на покупку данного блага. Если, затратив все деньги, потребитель купил оптимальный набор благ, то израсходовав 1 руб. на дополнительную покупку любого блага, он получит одинаковую дополнительную полезность.

На примере проведенного анализа видна последовательность действий при экономико-математическим моделировании.

1.     Анализируется экономическая ситуация – задача потребителя.

2.     Разрабатывается математическая модель – функция полезности и ограничения.

3.     Теперь можно забыть об экономическом содержании модели и заняться чисто математическим анализом – поиском экстремума.

4.     Возвращаемся к экономическому содержанию и анализируем экономический смысл полученных результатов.

Перепишем полученную систему уравнений в несколько ином виде:

Это выражение называется равновесием потребителя на потребительском рынке и является математической записью второго закона Госсена: для оптимального набора благ вложения дополнительной единицы денег в покупку любых благ равнополезны.

Еще раз проанализируем  условие равновесия потребителя. Допустим, это условие выполняется для всех благ, кроме одного, напр., k-го, и пусть  > l. Это значит, что можно повысить полезность набора, сократив на 1 руб. покупку любого блага, напр., l-го. Т.к.  =  l, а > l и  <  , то, сократив покупки l-го  блага на 1 руб., потребитель уменьшит полезность набора на , а затратив сэкономленный рубль  на покупку k-го блага, увеличит полезность набора на . Но так как  >  , то в результате полезность набора возрастет – следовательно, набор не был оптимальным. Аналогичные рассуждения можно провести для случая   <  l.

Равновесие потребителя на рынке было получено в предположении, что функция полезности существует и может быть выражена в явном виде. Разумеется, никакой потребитель не выражает свои предпочтения в виде функции полезности большого числа необходимых ему благ. Выведем второй закон Госсена без использования функции полезности. Предположим, что потребитель в состоянии из любых двух благ выбрать более полезное для себя. Построим алгоритм действий потребителя, приводящий его к оптимальному набору. Для всех благ, которые он собирается купить, потребитель оценивает величины  . Затем перенумеровывает их в порядке убывания величин  .  Получается следующее выражение:

Выясним экономический смысл величины l – это предельная полезность денег, оставленных на завтра. Эта величина связывает сегодняшние покупки с будущими. Деньги на покупки должны быть распределены так, чтобы предельные полезности текущих и будущих покупок были равны.

Предположим, что потребитель делает последовательно покупки, каждый раз затрачивая ровно 1 руб. Сначала он должен покупать первое благо. После каждой покупки MU₁ уменьшается по закону убывающей предельной полезности, а цена P₁ не изменяется, следовательно,  уменьшается. Покупки 1-го блага нужно продолжать до тех пор,  пока не наступит равенство  = . Затем нужно покупать первое и второе блага, пока не наступит равенство = = . Затем покупаются первое, второе и третье блага и т.д. до тех пор, пока не возникнет равновесие потребителя  на рынке 

Если деньги уже израсходованы, а равенство наступило не для всех, а, допустим, только для первых k благ, то остальные блага отбрасываются, их покупать неэффективно. Если равенство уже наступило для всех благ, а еще не все деньги израсходованы, то покупки продолжаются до полного израсходования денег.

Блага для потребителя взаимозаменяемы. Введем понятие «предельная норма замещения», под которой  понимается количество одного блага, равнополезное единице другого блага.

Введем обозначения:

k, l – номера благ в наборе;

Δx_k , Δx_l  – равнополезные приращения благ в наборе;

 – предельная норма замещения k-го блага l-м.

Тогда

Выведем выражение для предельной нормы замещения двух благ в наборе (х₁,…,х_i,…,х_m ).  Пусть k и l – номера благ, количества которых в наборе изменяются, в то время как количества остальных благ остаются неизменными. Обозначим:

dx_k – приращение k-го блага;

dx_l – приращение l-го блага равнополезное приращению dx_k;

dU – приращение полезности набора.

Тогда  dx_k ¹ 0;  dx_l ¹ 0;  dx_i = 0  – для i ¹ k, l;  dU = 0.

Чтобы найти  напишем выражение для  dU:

В этом выражении при i ¹ k,l величины  dx_i = 0, т.к.  dx_i = 0.

Кроме того, учтем, что по определению ,  а . Подставив приведенные выражения в формулу  dU,  получим:

По определению, ,  тогда  .

Предельная норма замещения двух благ равна обратному отношению их предельных полезностей, взятому со знаком минус. Выведем формулу предельной нормы замещения для оптимального набора благ. По второму закону Госсена , откуда получим . Подставив полученное выражение в формулу , получим предельную норму замещения для оптимального набора благ,  которая равна обратному отношению цен со знаком минус.

.

Знак минус стоит потому,  что при добавлении в набор одного блага количество другого блага надо уменьшать, чтобы полезность набора осталась неизменной.

 

(ПРИМЕР)

 

(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

2.2. Теория предельной производительности

Родоначальником теории предельной производительности является американский экономист Д.Б.Кларк (1847–1939). В своей книге «Распределение богатства» (1888) он писал: «Распределение общественного дохода регулируется общественным законом, и … этот закон, действуй он без сопротивления, дал бы каждому фактору производства ту сумму богатства, которую этот фактор создает». Это высказывание в экономической литературе получило название теоремы Кларка. Приведем современную формулировку этой теоремы: на рынке совершенной конкуренции каждый фактор производства получает созданную им долю валового внутреннего продукта (ВВП).

Обозначим:

Q – валовой внутренний продукт в текущих ценах;

j = 1, … , n – индексы факторов производства;

y_j – объем j-го фактора производства, используемый в общественном производстве;

P_j  – рыночная цена j-го фактора производства;

Q_j – объем продукта, созданного j-м фактором производства:

В принятых обозначениях запишем теорему Кларка:

ВВП есть конечный продукт, созданный за год внутри страны. Он может рассчитываться по доходам и расходам, причем ВВП по расходам равен ВВП по доходам. В принятых обозначениях Q – это ВВП по расходам, т.к. весь конечный продукт куплен; – ВВП по доходам. Следовательно, и . Это последнее выражение непосредственно следует из определения ВВП. Но отсюда вовсе не вытекает, что , это еще нужно доказать. В этом и состоит смысл теоремы Кларка.

Рассматривается рынок совершенной конкуренции. На таком рынке объем предложения каждого производителя настолько мал, что не может повлиять на рыночные цены продуктов. Соответственно объем закупок факторов производства незначителен и не может повлиять на цены факторов.

Рассмотрим действия отдельного предприятия на рынке. Его производственные возможности определяются технологией и бюджетом. Технология описывается производственной функцией:

Q = Q(y₁, …,y_j, …,y_n),

где Q – объем продукции предприятия в рыночных ценах;

 (y₁,…,y_j,…,y_n) – набор факторов производства, используемый данным предприятием;

y_j – количество j-го фактора в наборе;

В – бюджет, т. е. сумма денег, которой предприятие располагает для закупки факторов производства.

Уточним, что понимается под факторами производства. Самая крупная группировка факторов – труд, земля, капитал. Но используются множество видов труда (специальностей), участки земли различного качества, разнообразный капитал (здания, сооружения, технологические линии, различные виды оборудования).

Производственная функция отражает технологические возможности предприятия. Введем понятие предельного продукта. Под предельным продуктом фактора производства понимается прирост продукта в результате увеличения количества фактора производства на единицу при неизменных количествах других факторов. Обозначим:

  прирост количества j-го фактора в наборе;

прирост продукции, вызванный приростом количества j-го фактора;

предельный продукт j-го фактора.

По определению:

         Рассмотрим свойства производственной функции. На рис.2.2 изображена производственная функция j-го фактора при неизменных количествах других факторов.

 

Перечислим свойства производственной функции:

1)     функция существует;

2)     проходит через ноль, т. е. Q = 0 при y_j = 0;

3)     непрерывна;

4)     дифференцируема;

5)     возрастает на всей области определения, т. е. ;

6)     выпукла, т. е. .

Последнее свойство производственной функции означает, что предельная производительность фактора производства убывает с ростом количества данного фактора в наборе. Это свойство соответствует первому закону Госсена в теории предельной полезности.

Каждое предприятие стремится получить наибольшую массу прибыли, которая равна разности между ценой произведенного продукта и издержками производства. Обозначим массу прибыли R = pQ – B, где p - цена продукта. Т.к. бюджет В фиксирован, максимум прибыли достигается при максимуме продукта. Задачу, стоящую перед предприятием, можно сформулировать следующим образом: найти максимум производственной функции при заданных  ценах факторов производства и бюджете.

 

Целевая функция: 

.

Ограничения:

Ограничение   означает, что нельзя израсходовать средств больше бюджета, но весь бюджет должен быть израсходован. Из выражения  следует, что факторы производства могут либо покупаться, либо нет, но не могут предприятием продаваться.

Сформулирована задача на условный экстремум. Для ее решения составим функцию Лагранжа. В математике доказана теорема, из которой следует, что максимум функции Лагранжа совпадает с максимумом производственной функции при действующих ограничениях.

Здесь l – переменная Лагранжа, экономический смысл которой – предельная производительность неизрасходованных денег.

Найдем максимум функции Лагранжа, необходимым и достаточным условиями существования которого является равенство нулю  частных производных от функции по всем переменным.

=0.

В полученной системе n+1 неизвестных и n+1 уравнений. Если бы производственная функция была выражена в явном виде, то решение системы уравнений дало бы оптимальный набор факторов производства   . Но т.к. производственная функция не выражена в явном виде, продолжим анализ с целью выявления необходимых и достаточных условий оптимума.

По определению . Заменив  на MQ_j для всех j=1,...,n и произведя некоторые преобразования, получим систему уравнений.

Запишем эту систему, кроме последнего равенства, в несколько ином виде.  

Это выражение называют условием равновесия предприятия на рынке факторов производства.

Проанализируем экономический смысл величины . Здесь MQ_j – предельная производительность единицы j-го фактора производства. Но тогда  есть предельная производительность такого количества j-го фактора производства, которое можно купить за единицу денег, напр., за 1 руб. Следовательно, величина  отражает эффективность вложения дополнительного рубля в закупку j-го фактора. Ясно, что закупленный набор факторов производства оптимален тогда и только тогда, когда эффективности вложения дополнительного рубля во все факторы равны между собой. Если это не так, то можно повысить производительность набора факторов, сократив закупки одних факторов и увеличив закупки других. Покажем это.

Выделим факторы k и l так, что . Тогда, сократив закупки l-го фактора на 1 руб. и затратив высвободившийся рубль на закупку k-го фактора, можно увеличить производительность всего набора. Следовательно, до такого перераспределения набор не был оптимальным.

Выражение равновесия фирмы на рынке факторов производства есть полный аналог второго закона Госсена в теории предельной полезности. В теории предельной производительности этот закон можно сформулировать следующим образом: для оптимального набора факторов производства выполняется условие – предельные эффективности вложения единицы денег во все факторы производства равны между собой.

Максимум продукта (производственной функции) при заданной величине издержек (бюджета) соответствует максимуму массы прибыли. Все предприятия стремятся к наибольшей массе прибыли, но трудно представить себе, чтобы они составляли производственную функцию по набору факторов производства, и анализом функции Лагранжа находили оптимум. Следующий алгоритм иллюстрирует, как предприятие может находить оптимум без построения производственной функции.

Для всех факторов вычисляются  предельные эффективности  вложения денег в их закупку , затем факторы перенумеровываются в порядке убывания этих величин.

Возникает  n-1  неравенство:

Предприятие сначала закупает первый фактор. При закупке MQ₁ уменьшается по закону уменьшающейся предельной производительности, а Р₁ не изменяется, т. к. это цена конкурентного рынка. Первый фактор закупается в таких количествах, чтобы наступило равенство . Затем закупаются вместе первый и второй факторы производства в таких количествах, чтобы наступило равенство . Продолжая ту же процедуру, получим оптимальное решение, при котором возникает равновесие предприятия на рынке факторов производства:

Здесь l есть предельная эффективность вложения денег в любой из  факторов производства. Если бюджет В окажется  недостаточным, чтобы все неравенства превратились в равенства, то часть наименее эффективных факторов будет отброшена и не войдет в состав закупаемого набора. Если же по достижении равновесия не весь бюджет будет израсходован, то далее закупаются все факторы производства до тех пор,  пока весь бюджет не будет израсходован.

До сих пор определялся оптимум на отдельном предприятии. Необходимо найти глобальный оптимум, т. е. максимальный ВВП из всех возможных. Увеличить ВВП сверх суммы локальных оптимумов можно, перераспределяя финансы – от менее эффективных предприятий более эффективным, т. е. считая бюджеты предприятий переменными. Это можно сделать, используя банковскую систему. Для этого в модель вводим финансовый рынок. Кроме того, при рассмотрении всех предприятий, цены продуктов и факторов производства становятся переменными.

Обозначим:

i=1,...,m – индексы предприятий;

 – предельная эффективность производства на i-м предприятии, равная эффективности вложения дополнительной единицы денег в производство на i-м предприятии,

 – норма прибыли на i-м предприятии.

Предприятия стремятся к максимуму массы прибыли. Перераспределение единицы денег от предприятия с меньшей эффективностью  предприятию с большей эффективностью может повысить массу прибыли каждого предприятия. Выделим предприятия с индексами k и l. И пусть  и, соответственно, . Если теперь предприятие l передаст в виде кредита единицу денег предприятию k под ставку процента s, так что , то масса прибыли на предприятии l возрастет на величину s–r_l, а на предприятии k – на величину r_k–s. Следовательно, такое перераспределение бюджетов выгодно всем предприятиям.

Занумеруем предприятия в порядке убывания l_i и получим систему неравенств:

Проведем процедуру выравнивания эффективностей. Переместим столько денег от предприятия m  предприятию m–1, чтобы наступило равенство l_m-1=l_m. Затем перемещаем деньги от предприятий m–1 и m  предприятию m–2 до наступления равенства . Доведя процедуру до начала, получим систему равенств:

Здесь l – предельная эффективность,  равная для всех предприятий.

Экономический смысл процедуры перераспределения финансов между предприятиями заключается в следующем. Вместе с перемещением денег перемещаются и факторы производства от менее эффективных производств к более эффективным. В результате эффективность общественного производства возрастает. В оптимальном состоянии достигается равная эффективность всех факторов производства на всех предприятиях. Это легко понять. Если существуют разные эффективности, то можно увеличить общую эффективность, и следовательно, предыдущее распределение не было оптимальным.

До сих пор все рассмотрение проводилось при условии неизменных цен на продукты и факторы производства. Это было верно по отношению к одному предприятию. Но перераспределение финансов и факторов производства между всеми предприятиями ведет к изменению спроса на факторы и предложения продуктов, что ведет к изменению цен. Для возможности сопоставления различных продуктов величины Q_i и MQ_ij будем измерять в деньгах. Покажем, что равенство l = 1 является условием глобального оптимума.

Обозначим:

 – предельная производительность j-го фактора на i-м предприятии;

 – предельная эффективность вложения денег в закупку  j-го фактора для i-го предприятия;

 – прибыль, производимая единицей j-го фактора на    i-м предприятии.

Если l_i = 1, то  и . В этом случае предприятие не может увеличить массу прибыли ни увеличивая производство, ни сокращая его. Спрос на факторы и предложение продукта не меняются, цены стабильны.

Если l_i>1, то . В этом случае предприятие может увеличить массу прибыли, закупив дополнительное количество j-го фактора. Но это справедливо для всех предприятий. Следовательно, спрос на факторы при неизменном предложении возрастает и  P_j будет расти. Одновременно увеличивается производство продукта и его предложение, что приведет к снижению цен на продукты. Процесс изменения цен прекратится при достижении условия l=1. Если l<1, сократится спрос на факторы производства, что приведет к падению цен на факторы. Одновременно сократится объем производства и предложение продукта, что вызовет рост цен на продукт. Процесс изменения цен прекращается при достижении равенства l_i=1 для всех i=1,…,m.

Таким образом, оптимальное состояние экономики возникает при условии l=1. Но  и , где P_j – рыночная цена единицы фактора производства, а значит, его доход, MQ_j – продукт, производимый единицей фактора. Следовательно, на рынке совершенной конкуренции  в равновесном состоянии доход каждого фактора производства равен его продукту. Именно это утверждает теорема Кларка.

Факторы производства взаимозаменяемы. Копать землю могут тысяча человек с лопатами либо один экскаваторщик с экскаватором. Здесь труд замещается капиталом, и наоборот. Обозначим через  предельную норму замещения фактора k фактором l. Под предельной нормой замещения факторов производства будем понимать количество одного фактора, равнопроизводительное единице другого фактора при неизменных количествах остальных факторов в наборе. Обозначим: y_k, y_l - равнопроизводительные приращения факторов k и l. Тогда .

Выделим факторы k и l, количества которых в наборе будут изменяться. Обозначим dy_k, dy_l – равнопроизводительные приращения количеств факторов k и l соответственно.

 и  ,   для j .

По определению  при условии dQ=0, где dQ – приращение продукта в результате действия приращений dy_l и dy_k.

Запишем выражение для dQ:

.

По определению, все  dy_j, кроме  dy_l  и  dy_k,  равны нулю. Учитывая это,  получим:

Также по определению, . Произведя соответствующие замены, получим:

 

или

Следовательно, предельная норма замещения двух факторов равна обратному отношению их предельных производительностей, взятому со знаком минус.

Определим предельную норму замещения факторов для равновесного состояния, в котором  . Отсюда  и .     

 

(ПРИМЕР)

 

 

(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

2.3. Эластичность спроса на товар по его цене

Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении его цены на 1%. На рис. 2.3.1 показан график спроса.

Здесь Q – объем спроса, Р – цена товара, D – обозначение графика спроса. График спроса показывает зависимость спроса от цены, т.е. выражает функцию Q=f(P). Непривычно, что аргумент Р откладывается по оси ординат, а функция Q – по оси абсцисс: так по экономической традиции изображается этот график.

Обозначим:

 – приращение цены;

 – приращение спроса;

–процентное приращение цены;

–процентное приращение спроса;

 – эластичность спроса по цене.

По определению:

.

Формула эластичности спроса получена для конечных приращений. Перейдем к бесконечно малым приращениям:

Найдем уравнения графиков спроса единичной, нулевой и бесконечно большой эластичности. График спроса, как он изображен на рис. 2.3.1,  имеет отрицательную эластичность, поскольку  для всех точек графика.

Пусть . Тогда  и .

Получено дифференциальное уравнение. Решим его:

Здесь c – произвольная неотрицательная константа.

Таким образом, график спроса единичной эластичности есть  гипербола с произвольной неотрицательной константой  с.

Найдем выражение для абсолютно неэластичного спроса:

Q=c,  где  с – произвольная неотрицательная константа.

         На рис. 2.3.2  показан график абсолютно неэластичного спроса .

Абсолютно неэластичный спрос – это абстракция. В России к нему близок спрос на коммунальные услуги,  хлеб,  водку.

Найдем выражение для абсолютно эластичного спроса:

 где с – произвольная неотрицательная константа.

На рис. 2.3.3 показан график абсолютно эластичного спроса.

Абсолютно эластичный спрос – это также абстракция. К нему приближается спрос на продукцию одной фирмы на рынке совершенной конкуренции. Если фирма установит цену ниже рыночной равновесной, она быстро продаст свой товар. Наоборот, при цене выше рыночной равновесной товар не будет продан.

 

(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

2.4. Модель экономического роста Р. Солоу

Лауреат Нобелевской премии американский экономист, выходец из России, С.Кузнец дал следующее определение: «Современный экономический рост – это экономическое развитие, при котором долгосрочные темпы роста производства устойчиво превышают темпы роста населения».

Темп роста производства – это темп роста валового внутреннего продукта (ВВП). Основной показатель экономического роста – темп прироста производства  ВВП на душу населения.

Американский экономист Р. Солоу в 50-х гг.  XX в. разработал модель экономического роста, за которую впоследствии был удостоен Нобелевской премии по экономике.

Солоу рассматривал три фактора экономического роста:

накопление капитала;

рост народонаселения;

научно-технический прогресс (НТП).

Эти факторы вводятся в анализ последовательно. Сначала рассматривается влияние на экономический рост накопления капитала при стабильном населении и неизменных технологиях и технике. Затем к накоплению капитала добавляется рост народонаселения, и наконец к первым двум факторам добавляется НТП.

В основу анализа положена производственная функция вида    Y=F(K, L), где Y – валовой внутренний продукт (ВВП), К – капитал, L – труд. Чтобы на первом этапе анализа исключить учет роста народонаселения, Y, K и L делят на L:

.

Вводятся обозначения:

 – ВВП на единицу труда или производительность труда;

 – капиталовооруженность труда, т.е. количество капитала, приходящееся на единицу труда;

.

В результате получается производственная функция:

_.

На рис. 2.4.1 показан вид этой функции, как ее представляют себе экономисты.

Перечислим свойства функции y=f(k):

1)     функция существует;

2)     проходит через ноль, т.е. y = 0  при  k = 0;

3)     непрерывна;

4)     дифференцируема;

5)     возрастает;

6)     предельная производительность капитала убывает.

Под предельной производительностью капитала понимается прирост производительности в результате прироста капиталовооруженности на единицу. Пусть  – прирост капиталовооруженности,  – прирост производительности в результате прироста капиталовооруженности, my – предельная производительность капиталовооруженности.

Тогда:

ВВП на душу населения y используется на потребление и накопление (инвестиции):

y = c+ i,

где c – потребление; i – накопление; s –  норма накопления;

c = y – i = y – sy = (1 – s)y;

(1 – s) – норма потребления.

При заданном значении s=const  возникает функция накопления, изображенная на рис. 2.4.2.

Накопленный капитал амортизируется (изнашивается). В экономической практике обычно принимается, что амортизация линейно зависит от количества капитала. Обозначим: а – амортизация; – норма амортизации, тогда .

График амортизации изображен на рис.2.4.3.

Обозначим:  – прирост капиталовооруженности. Накопление i идет на валовые инвестиции, т.е. на возмещение амортизации а и прирост капитала (чистые инвестиции),  который обозначим .

          Как видно на рис. 2.4.4, с ростом капиталовооруженности при фиксированной норме накопления наступает момент, когда прирост капитала прекращается: (рис. 2.4.5).

          В точке пересечения графиков инвестиций и амортизации выполняется условие i =a или . В этой точке прирост капитала прекращается и возникает состояние устойчивого уровня накопления капитала, который обозначим . В этой точке           Р.Солоу делает важнейший вывод: невозможно обеспечить непрерывный экономический рост только за счет накопления капитала. Увеличив норму накопления s, можно увеличить накопление капитала k и объем производства y. Но все равно наступит устойчивый уровень накопления капитала при крайне низком потреблении. Большая часть произведенного продукта будет тратиться на возмещение износа капитала.

          Модель Солоу позволяет объяснить известный в экономической науке парадокс отложенного удовольствия. Суть его в следующем. Распределяя продукт на потребление и накопление, общество может сократить до минимума потребление и увеличить накопление ради роста потребления в будущем. Но в последующих периодах такое решение может повториться. В этом случае общество постоянно будет жить при минимальном потреблении.

          Покажем действие парадокса отложенного удовольствия на графике (рис.2.4.6).

Пусть с_min – минимально допустимое потребление, тогда накопление i = y – c_min. Накопление возрастает до тех пор, пока инвестиции не сравняются с амортизацией. Экономика окажется в устойчивом состоянии при минимальном потреблении c_min. Будет  накоплен огромный капитал, и все силы общества станут тратиться на поддержание этого капитала в рабочем состоянии.

          Устойчивый уровень накопления капитала и возникающее при этом устойчивое потребление зависят от производственной функции, а также  от норм амортизации и накопления. Производственная функция и норма амортизации, в свою очередь зависят от достигнутого технологического уровня, стабильны и не могут изменяться произвольно. Наоборот, норма накопления может выбираться в зависимости от того, какие цели ставит перед собой общество. При различных нормах накопления капитала возникают различные уровни устойчивого накопления и потребления.

          На рис. 2.4.7 показаны графики инвестиций для трех норм накопления s₁, s₂ и s₃ – таких, что s₁<s₂<s₃. При этом . Однако . Видно, что устойчивое потребление есть расстояние по вертикали от графика y=f(k) до графика . С ростом устойчивое потребление сначала возрастает, а потом сокращается.

          Возникает проблема поиска нормы накопления, приводящей к наибольшему устойчивому потреблению. Устойчивое потребление существует тогда, когда инвестиции равны амортизации, т.е. . Найдем максимум , взяв производную от  как функции k, и приравняв ее нулю:  или .

          Решение этого уравнения дает значение k, при котором возникает наибольшее устойчивое потребление. Этот уровень Солоу назвал золотым. На рис. 2.4.8 показано графическое решение задачи.

          Производная  равна тангенсу угла наклона касательной к производственной функции. Условие  означает, что эта касательная параллельна графику амортизации . Точку касания обозначим М. Из точки М опустим вертикаль, которая пересечется с графиком амортизации в точке N. Через эту точку должен проходить график . Две звездочки при величинах k, y, i, s, c означают, что они относятся к золотому уровню. Золотой уровень накопления капитала определяется решением уравнения   Значения остальных величин вычисляются по формулам:  ;        ;     .

          Найденные значения определяют оптимальное состояние экономики при неизменном народонаселении и стабильном технологическом уровне. Теперь к росту капитала добавим рост народонаселения. Обозначим:

    прирост труда за год;

n – темп прироста труда;

.

Будем считать, что структура населения не меняется;  тогда темп прироста труда равен темпу прироста населения.

Определим, как рост населения влияет на капиталовооруженность труда.

 – капиталовооруженность труда, где теперь K и L   изменяются во времени, т.е. являются функциями времени.

Возьмем производную от капиталовооруженности по времени.

 

Умножим обе части равенства на , где t измеряется в годах, и .

. Учтем, что при Δ t= 1:

прирост капиталовооруженности за год;

прирост капитала за год;

 прирост труда за год.

С учетом приведенных значений получим: .

Как было установлено ранее:

 прирост капиталовооруженности при неизменном количестве труда;

 по определению;

 по определению;

Произведя соответствующие подстановки, получим:

 годовой прирост капиталовооруженности с учетом роста народонаселения.

Экономический смысл полученного выражения заключается в следующем. С учетом роста народонаселения капиталовооруженность сокращается за год на величину . Здесь  – сокращение капиталовооруженности в результате амортизации капитала, n·k – сокращение капиталовооруженности вследствие роста населения, т.к. вступление в производство новых работников сокращает среднюю капиталовооруженность.

 

На рис. 2.4.9 показано:

 сокращение капиталовооруженности вследствие амортизации;

 сокращение капиталовооруженности в результате совместного действия амортизации и роста населения;

золотой уровень накопления капитала и наибольшее устойчивое потребление при стабильном населении;

 золотой уровень накопления капитала и наибольшее устойчивое потребление с учетом роста населения.

Видно, что  и  . Следовательно, рост населения снижает устойчивое потребление.

          К накоплению капитала и росту населения добавим третий фактор экономического роста – научно-технический прогресс (НТП), под которым понимается совершенствование техники и технологии, приводящее к росту эффективности (производительности) труда. Пусть в результате НТП производительность труда возросла в Е раз. Это значит, что если раньше L единиц труда производили Y единиц ВВП, то теперь то же количество труда L производит EY единиц валового продукта. Но можно получить тот же результат производства EY, считая, что производительность труда не изменилась, а увеличилось количество труда – вместо L стало LE.

Обозначим:

Е – коэффициент эффективности труда;

    годовой прирост эффективности;

 темп прироста эффективности;

L – фактическое количество труда;

LE – количество труда с неизменной эффективностью.

          Определим, как меняется капиталовооруженность труда с учетом НТП.

 капиталовооруженность единицы труда с неизменной эффективностью.

Возьмем производную по времени:

.

Умножим обе стороны равенства на , учитывая, что t измеряется в годах и . Тогда:

.

Учтем, что при :

    ;

Подставив приведенные значения в выражение производной, получим:

В этом выражении:

 прирост капиталовооруженности труда при неизменных населении и технике;

капиталовооруженность труда с неизменной эффективностью;

 по определению;

 по определению.

Произведя соответствующие подстановки, получим:

Оказалось, что с учетом всех трех факторов экономического роста капиталовооруженность снижается с темпом , т.е. к темпам амортизации  и роста населения n добавился темп НТП. Экономически это понятно: НТП состоит в том, что старая техника выводится из производства до ее физического износа и заменяется новой, происходит так называемый моральный износ техники. Этот моральный износ и сокращает капиталовооруженность с темпом  g.

На рис. 2.4.10 показано:

 график сокращения капиталовооруженности с учетом амортизации и роста населения;

 золотой уровень накопления капитала и наибольшее устойчивое потребление в этом случае;

 график сокращения капиталовооруженности при учете всех трех факторов экономического роста;

 золотой уровень накопления капитала и наибольшее устойчивое потребление с учетом всех трех факторов роста.

          Видно, что .

          Неравенство  кажется удивительным: НТП привел к тому, что наибольшее устойчивое потребление сократилось. Тогда зачем вообще нужен НТП? Но следует учесть, что производительность труда с учетом НТП в данной модели считается при количестве труда с неизменной эффективностью, т.е.  Если же пересчитать на фактическое количество труда, то получим  Если y в устойчивом состоянии не изменяется, то ВВП на душу населения  растет с темпом g, т.к. с таким темпом растет Е в результате НТП.

          Итоговые данные, относящиеся к устойчивому состоянию при всех трех факторах роста сведем в таблицу:

Показатели	Значения	Темп  прироста
Капитал на единицу труда с неизменной эффективностью.		0
ВВП на единицу труда с неизменной эффективностью.		0
ВВП на фактическую единицу труда.		g
ВВП		n+g

            Заключительный вывод: единственным источником долговременного устойчивого экономического роста является научно-технический прогресс.

 

(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

(НАЗАД) (ДАЛЕЕ)