Пример решения задачи на теорию предельной полезности

 

Пусть функция полезности имеет вид .

Даны коэффициенты  a_0,  a_1,  a₂, бюджет B и цены Р₁ и Р₂.

 

 

Найти оптимальный набор благ, его полезность и предельную норму замещения первого блага вторым.

Решим задачу в общем виде. Построим функцию Лагранжа:

  

Возьмем частные производные по всем переменным и приравняем их нулю:

Преобразуем систему:

Разделим первое уравнение на второе:

Выделим x₂:

x₂ =  x₁;

P₁x₁ + P₂x₂ = B.

Решим полученную систему:

x₁* = ;

x₂* =.

Подставив численные значения, получим оптимальный набор благ:

x₁* = 2,32;

x₂* = 3,82.

Вычислим полезность оптимального набора:

U* = 1,12 · 2,32^0,65 · 3,82^0,47 = 3,63.

Вычислим предельную норму замещения для оптимального набора благ:

 = - ;

= - 0,44.

           

         (НАЗАД)

 

 

 

         Пример решения задачи на теорию предельной производительности 

 

         Пусть в производстве используются всего два фактора: n=2. Наиболее распространенной является производственная функция вида , где а₀, а₁, а₂ - числовые коэффициенты, принимающие значения: а₀>0, 1>a₁>0, 1>a₂>0.Коэффициенты a₁ и а₂ должны быть меньше 1, в противном случае предельная производительность факторов производства MQ_i  не будет убывающей. Покажем это:

.

Т.к. в данном случае а₀, а₁ и величины постоянные, то при a₁>1 значение MQ₁ будет возрастать с ростом, что противоречит закону убывающей предельной производительности факторов производства.

         Будем считать заданными цены факторов Р₁ и Р₂ , а также бюджет предприятия В. Найдем оптимальные значения величин .

Составим функцию Лагранжа:

L = a₀

Возьмем частные производные от L по , , l и приравняем их нулю. Получим систему уравнений:

a₀a₁–lP₁=0;

a₀a₂–lP₁=0;

Приведем систему к виду:

a₀a₁=lP₁;

a₀a₂=lP₂;

Разделим первое уравнение на второе:

;

Из первого уравнения выразим у₂ и подставим его во второе:

=;

Из второго уравнения получим оптимальное значение , подставив  в первое уравнение, получим :

;

.

          Ясен экономический смысл полученных выражений. Бюджет В делится на две части между факторами пропорционально значениям а₁ и а_2, а потом каждая часть делится на цену соответствующего фактора.

         Подставив значения  и  в производственную функцию, получим максимально возможный объем производства Q^*:

.

         Напомним, что l есть предельная эффективность вложения денег в производство на данном предприятии и что , где .

Подставив в выражение для l сначала  , а затем значения  и , получим оптимальное значение l^*:

.

 

Обозначив ,  получим:

;

.

Откуда видно, что

.

         В экономике существует проблема эффекта масштаба. Если с ростом объемов производства эффективность его возрастает, то имеет место положительный эффект масштаба, а если сокращается - отрицательный. При заданных ценах факторов эффект масштаба определяется бюджетом В. Проанализируем, как зависит предельная эффективность l^* от бюджета. Величина коэффициента a не зависит от бюджета. Если производственная функция такова, что а₁+а₂=1, то  и l^*=a. В этом случае эффективность не зависит от бюджета, эффект масштаба нейтральный. Если а₁+а₂>1, то а₁+а₂-1>0, и с ростом В возрастает l^*, т.е. имеет место положительный эффект масштаба. Если же а₁+а₂<1, то а₁+а₂-1<0, тогда , и с ростом В эффективность падает, т.е. - возникает отрицательный эффект масштаба.

         Для случая отрицательного эффекта масштаба найдем оптимальные бюджет и объем производства. Пусть i - банковская ставка процента. Тогда каждый рубль, вложенный в финансовые активы, приносит i рублей прибыли, т.е. превращается в 1+ i  рублей.

         До тех пор, пока l^*>1+i, эффективность вложения денег в производство выше вложения денег в финансовые активы. Следовательно, бюджет, при котором l^*>1+i не является оптимальным, и его нужно увеличивать до тех пор, пока не наступит равенство l=1+i. Из этого условия и найдем оптимальный бюджет B^*:

l^*=1+i;

;

.

         Подставив вместо a ее значение, приведенное выше, и произведя некоторые преобразования, получим:

.

 

Численное решение примера

Предприятие использует всего два фактора. Производственная функция имеет вид: Q=10,4.

Здесь  и  - объемы используемых факторов производства в физических единицах;

Q - объем производства в денежном выражении в тыс. рублей.

Рыночные цены факторов производства P₁=1,4 и Р₂=2,5 в тыс. рублей за физическую единицу.

Банковская ставка процента i=0,3 или 30%.

Найти:

В^*- оптимальный бюджет;

(, ) - оптимальный набор факторов производства;

l^*- предельная эффективность.

Исходные данные занесем в таблицу:

 

 

Вычислим коэффициент a:

=

Найдем оптимальный бюджет:

.

Найдем оптимальный набор факторов производства:

;

.

      Вычислим оптимальный объем производства Q*:

       тыс. рублей.

      Определим предельную эффективность:

.

      Получилось то, чего следовало ожидать: предельная эффективность вложения денег в производство составляет 30% - ровно столько же, что и вложение в финансовые активы.

     

Проверим, выполняется ли условие равновесия предприятия на рынке факторов производства.

.

Вычислим:

=10,4 × 0,35 × 10728,7^0,35-1 × 9956,2^0,58 ×=1,300;

= 10,4 × 0,58 × 10728,7^0,35 × 9956,2^0,58-1  ×=1,300.

Предприятие находится в абсолютном равновесии, все эффективности равны.

 

         (НАЗАД)

 

 

 

Пример планового межотраслевого баланса

          Общественное производство состоит из восьми отраслей. Задана матрица коэффициентов прямых затрат:

Задание 1. По  заданной конечной продукции рассчитать валовую.  

Конечная продукция.

 

Отрасли	1	2	3	4	5	6	7	8
Конечная продукция	1831,2	243,4	941,8	2248,2	751,1	643,2	1725,0	2540,2

 

 

 

Составим систему уравнений, подставив в нее значения конечной продукции:

X₁=0,01X₁ +  0X₂ + 0,12X₃ + 0,03X₄ + 0,07X₅ + 0,14X₆ + 0,12X₇ + 0,01X₈ + 1831,2;

X₂=0,22X₁ + 0,08X₂ + 0,06X₃ + 0,13X₄ + 0,14X₅ +      0X₆ + 0,18X₇ + 0,03X₈ +   243,4;

X₃=0,03X₁ + 0,09X₂ + 0,14X₃ +      0X₄ + 0,02X₅ + 0,05X₆ +      0X₇ + 0,04X₈ +   941,8;

X₄=     0X₁ + 0,08X₂ + 0,07X₃ + 0,05X₄ + 0,03X₅ + 0,09X₆ + 0,08X₇ + 0,04X₈ + 2248,2;

X₅=0,08X₁ + 0,04X₂ +      0X₃ + 0,14X₄ + 0,01X₅ + 0,03X₆ + 0,08X₇ + 0,09X₈ + 3751,1;

X₆=0,03X₁ +      0X₂ + 0,02X₃ + 0,13X₄ + 0,12X₅ +   0,4X₆ + 0,03X₇ +      0X₈ +   643,2;

X₇=0,19X₁ +   0,3X₂ + 0,15X₃ + 0,09X₄ +      0X₅ + 0,09X₆ + 0,14X₇ + 0,06X₈ + 1725,0;

X₈=    0X₁ +       4X₂ + 0,07X₃ + 0,08X₄ + 0,17X₅ + 0,04X₆ + 0,18X₇ +        X₈ +  2540,2.

             Решить эту систему можно на компьютере с использованием любого программного продукта, решающего системы линейных уравнений, например, EXCEL. Решение приведено в следующей таблице.

Валовые объемы продукции отраслей.

 

Отрасли	1	2	3	4	5	6	7	8
Валовой  продукт	3508,0	3374,8	2019,8	3807,8	2660,6	2938,9	5341,0	4652,4

 

Задание 2.   В таблице заданы валовые продукты отраслей.

 

Отрасли	1	2	3	4	5	6	7	8
Валовой продукт	3600	4500	1800	2300	6700	4300	5600	4670

 

Рассчитать конечные продукты отраслей. Для этого в системе уравнений все величины X₁ ,..., X₈ заменить на значения из приведенной выше таблицы, а численные значения конечной продукции - на символы y_1, ... _, y₈. Решение полученной системы уравнений дает значения конечных продуктов отраслей.

Конечные продукты отраслей.

 

 

 

 

         (НАЗАД)

        

 

Пример решения задачи определения срока ссуды в годах

 

  Ссуда выдана с 20 марта по 12 сентября  того же года. Требуется определить срок ссуды в годах. По точному методу (365/365) с 20 марта по 12 сентября по календарю с учетом того, что 20.03 и 12.09 считаются  за один  день t  = 11(март) + 30(апрель)  + 31(май)  +  30(июнь)  + 31(июль) + 31(август) + 12(сентябрь) = 176 дней.

T = 365 (год не високосный).

n = = 0,482.

По приближенному методу (360/360): t = 10(март) + 30(апрель) + 30(май) + 30(июнь) + 30(июль) + 30(август) + 12(сентябрь) = 172 дня.

Т = 360 дней.

  n =  = 0,478.

 

(НАЗАД)

 

 

 

Пример нахождения процентов и наращенной ссуды

 

Ссуда в 20 тыс. рублей. выдана на срок с 10 сентября по 15 января следующего года по годовой ставке i = 30%. Требуется рассчитать проценты I и наращенную ссуду  S.

Точный метод (365/365):

t = 126 дней; T = 365 дней; n = 0,345 года. I = Pni = 20·0,345·0,3 = 2,070 тыс. рублей.

S = P(1 + ni) = P + I =  22,070 тыс. рублей.

Приближенный метод (360/360).

t = 124; T = 360; n = 0,344; I = 20·0,344·0,3 = 2,064 тыс. рублей. S = 22,064 тыс. рублей.

 

(НАЗАД)

 

 

 

Пример определения реальной ставки процента

 

Пусть i = 20%, j = 3%, рассчитаем r.

Приближенно r = 20-3 = 17%.

Точно  = 16,5%

Очевидно, такая точность приемлема. Иное дело, если инфляция значительна.

Пусть j = 200%, и i = 220%. Тогда приближенно r = 220% - 200% = 20%, а точно %.

Ясно, что в этом случае нужно пользоваться точной формулой.

 В банках обычно рассчитывают номинальную ставку процента по предполагаемому темпу инфляции. Из формулы получим:

.

Вычислим, какой должна быть номинальная ставка процента при годовом темпе инфляции j = 200%, чтобы ссуда с процентами реально возросла на 20%.

.

 

         (НАЗАД)

 

 

 

Пример расчета процентной ставки по рублевому вкладу, эквивалентную ставке по валютному вкладу

 

Пусть b_пр=27,8руб./долл.,  b_пок=32руб./долл., v=5%.

Напомним, что b_пр– курс продажи в текущий момент, а b_пок – курс покупки через год. Разумеется, величина b_пок неизвестна, нужно сделать предположение какой она будет. Рассчитаем процентную ставку по рублевому вкладу,  эквивалентную ставке по валютному вкладу.

.

Следовательно, при данных условиях хранить деньги на рублевом вкладе выгоднее, чем на валютном, если годовая ставка процента по рублевому вкладу не менее 21%. Сделаем расчет по другому. Определим курс покупки через год, при котором хранение денег на рублевом и валютном вкладах равноэффективно. Для этого из приведенной выше формулы для i выразим b_пок:

.

Пусть v = 0,05,   i = 0,16, тогда

руб./долл.

Следовательно, при данных начальных условиях (b_пр = 27,8;  v = 0,05;  i = 0,16) хранить деньги на рублевом вкладе выгоднее, если через год курс покупки будет не больше 30,7 руб./долл.

 

(НАЗАД)

 

 

Пример начисления сложных процентов

            Сложные проценты начисляются ежеквартально. Следует вычислить такую ставку процента за квартал, чтобы годовая доходность эффективность) составляла 20%. В этом примере:

j=20%=0,2,  g = ?

g = (1 + 0,2)^1/4 - 1  = 0,047 или g = 4,7%

Теперь, наоборот, по квартальной ставке процента 4,7% рассчитаем  годовую: .

 

(НАЗАД)