(НАЗАД) (ДАЛЕЕ)

 

5. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

 

     5.1. Простые проценты

     5.2. Сложные проценты

     (СОДЕРЖАНИЕ)

 

Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы финансовых расчетов. Базовая финансовая операция – кредитование. Субъекты рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами). Ситуация в простейшем случае, когда ссуда выдана на год,  показана на рис.5.1.

Обозначим:

P - ссуда;

S – ссуда с наращением ( с процентами);

I – процент;

I = S – P;

 i =  = – годовая ставка процента, в данном случае ставка наращения.

Обратим внимание на некорректность названия величины I – «процент». На самом деле I – это величина наращения ссуды и измеряется в денежных единицах, а не в процентах. Но такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения называется процентом или процентами.

Обычно при кредитовании предметом договора являются величина ссуды P и годовая процентная ставка i , а ссуда с наращением S является функцией P и i. Выразим S через P и i. S = P(1 + i ). Приведенная формула для S справедлива  только при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу нужно ввести время. Традиционно в финансовых расчетах  время измеряется в годах, а процентная ставка берется  годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день, на которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются  в договоре о предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться  на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.

Обозначим:

 t – срок ссуды в днях;

T – количество дней в году;

 n =  – срок ссуды в годах.

Величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый способ обозначается (365/365), а второй - (360/360). Возможны и перекрестные способы. В любом  случае при получении ссуды нужно предварительно убедиться, каким способом определяется срок ссуды, т.к. от этого зависит величина процентов.

 

(ПРИМЕР)

 

Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной ставки и срока ссуды. Различают простые и сложные проценты. Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные проценты являются показательной функцией от времени,  где время входит в показатель степени.

 

(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

5.1. Простые проценты

Выше была приведена формула наращения для случая, когда ссуда выдана точно на год: S = P(1 + i) . Выведем формулу наращения для произвольного срока ссуды, измеренного в годах (рис.5.1.1).

S₁, S₂, S₃ – ссуда с наращением за 1, 2 и 3 года соответственно.

S₁ = P(1 + i) = P + Pi = P + I_1.

Применим метод индукции.

S₂ = P(1 + 2i) ; S₃ = P(1 + 3i). Очевидно, что за n лет S_n = P(1 + ni).

I_n = Pni – проценты за n лет.

Видно, что проценты являются линейной функцией времени.

Формулы для вычисления S_n и I_n были выше написаны для целого числа лет n. Очевидно, что они справедливы и для дробных значений n как меньше, так и больше 1. Напр., нужно вычислить проценты за месяц по приближенному методу (360/360). Тогда n= и I_мес. = Pi/12. Соответственно проценты за день по методу (360/360) равны Pi / 360. Во всех формулах  i – годовая ставка процента.

 

(ПРИМЕР)

 

Переменная ставка

 

При значительных сроках ссуды иногда применяют переменную ставку – напр., когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.

Обозначим:

 t = 1,...,m – номера временных интервалов с различными процентными ставками;

n_t – продолжительность t–го интервала в годах;

i_t – годовая ставка наращения в t–ом  интервале.

S = P (1 + n₁i₁ + ... + n_mi_m) = P (1 + ).

 

Возврат ссуды по частям

 

Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, либо частями в течение этого срока. В последнем случае необходимо рассчитывать величину последнего платежа. Для этого используют два метода: актуарный и торговца.

На рис. 5.1.2 изображена схема расчетов по актуарному методу, который обычно применяется при сроках ссуды более года.

Обозначим:

Р – ссуда;

t = 1,...,m – номера платежей;

n_t –  срок t-го платежа в годах от момента получения ссуды;

n  –  срок ссуды;

i – годовая ставка наращения;

S_t – сумма долга, накопленная к  t-му платежу;

R_t – величина  t-го платежа;

P_t – остаток долга после t-го платежа.

Формулы для вычислений:

S_t =  P_t-1(1 + ( n_t – n_t-1) i );

P_­t = S_t - R_t.

Вычисляя все величины последовательно от t = 1 до m, определяем величину последнего платежа : R_m = S_m = P_m-1 ( 1 + (n – n_m-1) i).

В любой момент накопленный долг состоит из двух частей: оставшаяся не возмещенной часть ссуды Р и накопленные и непогашенные проценты. Если очередной платеж меньше накопленных и непогашенных процентов, то уменьшение суммы долга не производится, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

На рис 5.1.3 показана схема расчетов по методу торговца, который обычно применяется при сроке ссуды менее года.

Обозначим:

P – ссуда;

S – ссуда с процентами,  S = P(1 + ni);

n – срок ссуды;

t = 1,...,m – номера промежуточных платежей;

R_t – величина t-го промежуточного платежа;

n_t ­– срок t-го промежуточного платежа;

R – заключительный платеж.

Идея метода торговца заключается в следующем. Пусть в срок n_t  осуществлен промежуточный платеж R_t. На оставшееся до конца срока  ссуды время, равное (n-n_t), начисляются проценты, и к концу срока ссуды сумма промежуточного платежа с процентами составит:

 S_t = R_t ( 1 + (n – n_t) i ).

Если таких платежей было m, то к концу срока ссуды накопится сумма платежей с процентами.

  .

Очевидно, что заключительный платеж R должен дополнять накопленную сумму платежей  с процентами до величины ссуды с накопленными по ссуде процентами.

S = ;

Заменив S и  на их значения, получим

 P( 1 + ni ) = (1 + ( n - n_t) i ) + R.

Отсюда получим величину заключительного платежа:

R = P(1 + ni) - (1 + ( n - n_t) i).

Сопоставим идеи двух рассмотренных методов промежуточных платежей по ссуде. В актуарном методе каждый платеж уменьшает сумму долга, проценты продолжают начислять на оставшийся долг. В методе торговца каждый платеж не уменьшает суммы долга, но на него начисляются проценты. В конце срока ссуды при заключительном платеже сумма накопленного долга и сумма накопленных платежей должны сравняться.

 

Дисконтирование (учет)

 

До сих пор рассматривалась процедура наращения: выданная ссуда Р с течением времени наращивалась процентами и превращалась в ссуду с процентами S. Ставка наращения определялась отношением процентов за год I к ссуде Р. В банковском деле применяется также процедура дисконтирования (учета), которая появилась из операции учета векселей. Вексель –  обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя  (его собственник в данный момент)  желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся  у него вексель, т.е. купить его за сумму Р, меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом. Схема расчетов по дисконтированию показана на рис.5.1.4  для случая, когда до срока оплаты векселя векселедателем ( т.е. тем, кто его выдал) остался год.

Обозначим:

S – номинал векселя;

1 год – срок действия векселя;

D – дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;

Р – цена векселя, т.е. сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.

D = S-P или P = S-D.

Легко заметить, что схема дисконтирования очень похожа на схему наращения (рис.5.1). Величины Р и S, D и I совпадают. Разница заключается в том, что в схеме наращения в основу расчетов положена выдаваемая ссуда Р, а вычисляется возвращаемая ссуда с процентами S, при дисконтировании же в основу положен номинал векселя S (т.е. возвращаемая сумма), а рассчитывается сумма денег Р, которую получит продавец векселя.

Обозначим: d – учетная ставка,

d = .

Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка i считается на величину ссуды Р, а при дисконтировании учетная ставка  d  считается на номинал векселя S.

Сопоставим :

i = ;

d = ;

Очевидно, что при одинаковых величинах  S и Р учетная ставка будет меньше ставки наращения. Запишем формулу расчета Р при известных S и d.

P = S(1- d).

Эта формула справедлива при годичном сроке векселя. Пусть  срок действия векселя  n лет, где  n – неотрицательное число, в том числе дробное. Формула для расчета Р примет вид: P = S(1-nd). Видно, что n и d могут быть такими, что может оказаться nd > 1 и Р станет меньше нуля.  Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S(nd-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd > 0.

 

Номинальная и реальная ставки процента

 

Пусть ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год нужно вернуть эту ссуду с процентами S=P(1 + i). Если имеет место инфляция с темпом j, то за год величина  S обесценится.

Обозначим:

   S_н – номинальная ссуда с процентами;

   S_р – реальная ссуда с процентами, т.е. покупательная способность S_н;

   r – реальная ставка процента;

   i – номинальная ставка процента;

   j – темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

S_н = P(1 + i);

S_P = P(1 +  r);

S_н = S_P (1 +  j) = P(1 + r)(1 + j).

Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо S_н подставим ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j)  или  (1 + i) = (1 + r)(1 + j)

Произведя преобразования, получим:

.

Это точная формула расчета реальной ставки процента по известным величинам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции применяют приближенную формулу r = i - j. При значительной инфляции нужно применять точную формулу.

 

(ПРИМЕР)

 

Конверсия валюты

 

Под конверсией валюты понимается перевод финансовых активов из одной валюты в другую, - напр., перевод рублей в доллары или наоборот. В банке можно хранить деньги на рублевом или валютном вкладе. Что выгоднее? Обычно, процентные ставки по рублевым счетам выше, чем по валютным. Это связано с тем, что рубли обесцениваются  в связи с инфляцией быстрее, чем доллары, евро и др. Ответ на вопрос,  в какой  валюте выгоднее хранить деньги в банке, зависит от процентных ставок по рублевому и валютному вкладам, а также от темпа изменения курса национальной валюты. Схема  расчетов показана на рис. 5.1.5.

Вся операция рассчитана на год. А, В, С, D – различные состояния во время операции.

Стрелка АВ – хранение денег на рублевом вкладе.

АС – конверсия рублей в доллары, т.е. продажа банком долларов вкладчику.

CD – хранение денег на валютном вкладе.

DB – конверсия долларов в рубли.

Р_P– сумма вклада в рублях.

Р – сумма вклада в долларах.

S_P – рублевая сумма вклада с наращением  (с процентами)  через год.

S – долларовый вклад с процентами через год.

i – годовая ставка процента по рублевому вкладу.

v – годовая ставка процента по валютному вкладу.

b_пр – курс продажи на момент вклада, т.е. цена по которой банк продает доллары за рубли.

b_пок – курс покупки через год, т.е. цена , по которой банк покупает доллары.

На стрелках показаны формулы для расчета результатов операций.

S_P=P_P(1 + i) – результат хранения денег на рублевом вкладе в течение года.

– результат первоначальной конверсии рублей в доллары по курсу b_пр.

S_д=Р_д(1 + v)  –  результат хранения денег на валютном вкладе в течение года.

S_P=S_д·b_пок  –  результат конверсии долларового вклада с процентами в рубли.

Определим условия эквивалентности хранения денег на рублевом и валютном вкладе: в этом случае результат хранения должен быть одинаковым.

;

;

.

 

(ПРИМЕР)

 

(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

5.2. Сложные проценты

Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме,  накопленной на начало интервала.

Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов. На рис 5.2.1 показана схема начисления процентов, когда ссуда выдана на целое число лет, а сложные проценты начисляются раз в год.

Обозначим:

Р – ссуда;

j – годовая ставка сложных процентов;

n – номер года;

S_n – наращенная ссуда в конце года n;

S₁=P( 1+j);

 S₂=S₁(1+j)=P(1+j)²­­­­­­­.

По индукции:

S_n=P(1+j)ⁿ­.

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n. Напр., за полгода , а за квартал .

В банковской практике  начисление сложных процентов по депозитам производится  несколько раз в год – за месяц, квартал, полугодие. При этом по ставке за интервал нужно вычислять годовую доходность и наоборот, - по годовой ставке процента определять эквивалентную по доходу ставку на интервал менее года. Схема расчетов показана на рис. 5.2.2.

Обозначим:

m – число интервалов в году;

t – номер интервала;

Р – ссуда;

S_t – ссуда с наращением в конце интервала t;

j – годовая эффективность ссуды;

g – ставка сложных процентов на интервал.

Чтобы ставки j и g были равноэффективны, необходимо, чтобы выполнялось равенство:

P(1+j)=P(1+g)^m;

или

(1+j)=(1+g)^m.

Отсюда по ставке процента за интервал можно вычислить равноэффективную ставку за год.

j=(1+g)^m – 1.

И наоборот, – по годовой ставке процента можно вычислить равноэффективную ставку сложных процентов за интервал.

.

 

(ПРИМЕР)

 

 (НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)

 

(НАЗАД) (ДАЛЕЕ)