Дисциплина
«Экономико-математические методы» (Матэкономика) изучает применение
математических методов и моделей для решения и анализа экономических проблем.
Возможности использования математики в экономике велики. Можно выделить три
направления такого использования.
Первое:
построение математических моделей для теоретического анализа сложных
экономических проблем. В данном пособии рассматриваются следующие проблемы:
теория
предельной полезности,
теория
предельной производительности,
эластичность
спроса по цене,
модель
экономического роста Р. Солоу.
Второе:
решение плановых задач балансовыми и оптимизационными методами. Кроме
перечисленных выше, все остальные методы и модели данного пособия относятся к
этому направлению.
Третье:
измерение параметров, отражающих состояние экономических систем, и их анализ, с
целью выявления экономических закономерностей, связей между параметрами и
прогнозирования. Это направление выделилось в самостоятельную дисциплину
«эконометрика» и в данном пособии не рассматривается.
(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)
Немецкий философ
Иммануил Кант писал: «Наука постольку наука, поскольку в нее входит
математика». Сказано сильно. Конечно, есть науки или их разделы, в которых
добиваются выдающихся результатов и без применения математики, особенно на
начальном этапе развития. Но, несомненно, применение развитого математического
аппарата свидетельствует о зрелости любой науки.
Истоки
применения математики в экономике теряются во тьме веков: ведь экономика
никогда не могла существовать без измерения и счета. В XV в. итальянский математик Лука Пачоли
разработал методы бухгалтерского учета на принципе двойной записи каждой
операции, действующие до сих пор. В XVIII в. французские экономисты пришли к
выводу, что в экономике, как и в природе (физике), действуют законы, которые нужно
выявлять. Этих экономистов назвали физиократами. Глава физиократов лейб-медик
Людовика XV Франсуа Кенэ опубликовал в 1758 г. «экономическую таблицу», где
анализировал кругооборот денег в экономике по аналогии с кругооборотом крови в
человеческом организме. Эту идею в XIX в. развил Карл Маркс, разработав
свои схемы общественного воспроизводства. А уже в XX в. развитие этих идей завершил
американский экономист, эмигрант из России В.В.Леонтьев, который создал метод
межотраслевого баланса (МОБ, «затраты-выпуск»), за что получил Нобелевскую премию по экономике.
В 1838 г.
французский инженер Анри Курно опубликовал работу «Исследование математических
принципов теории богатства». В 1870 г. Леон Вальрас создал математическую
модель общего экономического равновесия. Она произвела столь сильное
впечатление, что некоторые экономисты высказали мнение, будто на этом развитие
экономической теории заканчивается. Но в XX в. появилось множество других
моделей экономического равновесия. В 1874 г. Л.Вальрас написал: «Чистая теория
экономики есть наука, напоминающая во всем физико-математические науки».
Одновременно
с А.Курно немецкий экономист Госсен
издал книгу по анализу потребительского спроса. В ней он изложил два
закона, которые теперь называются первым и вторым законами Госсена. Книгу эту
не покупали, и автор сжег ее тираж, – к счастью, не весь. Австрийская школа
экономистов во главе с К. Менгером разрабатывала теорию предельной полезности.
Независимо от этих ученых в этом направлении работали итальянец В.Парето, англичанин
Эджуорт, американец Д.Б.Кларк. Появился маржинализм, что зафиксировано в книге
А.Маршалла «Принципы экономики», изданной в 1890 г. Развитие идей маржинализма
продолжили в XX в. русский математик Е.Е. Слуцкий и англичанин Д. Хикс.
Американский
математик, выходец из Венгрии, Джон фон Нейман в первой половине XX в. разработал теорию магистралей. В
1929 г. американцы К.И.Кобб и П.Х.Дуглас описали производственную функцию для
американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 г. по 1922 г. В 1953
г. появилась книга американского математика
Н.Винера «Кибернетика или управление и связь в животном и машине». Позже
Винер добавил к биологическим и техническим системам общественные, а значит и
экономику. В 50-х гг. XX в. американский математик Р.Беллман создал метод
динамического программирования, а американский экономист Р.Солоу - модель
экономического роста. Под руководством российского математика Л.С.Понтрягина
был разработан метод под названием
«принцип максимума».
В 1939 г.
российский математик Л.В.Канторович (1912-1986) опубликовал первую в мире
работу по линейному программированию. Аналогичную работу независимо от него
выполнил американский математик Д.Данциг, но опубликовал ее только в 1945 г.
Общепризнанно, что приоритет создания линейного программирования принадлежит
Л.Канторовичу. За эту работу он в 1965 г. получил Ленинскую, а в 1975 г.–
Нобелевскую премии по экономике.
Л.Канторович – единственный экономист из социалистических стран, ставший лауреатом Нобелевской премии.
В СССР, а затем
в России, экономико-математическое направление интенсивно разрабатывалось в
Центральном экономико-математическом институте, Институте экономики и
организации промышленного производства (Новосибирский Академгородок) и других
научных учреждениях.
Курс
математической экономики читается в университетах для математиков и
экономистов. Предлагаемое пособие предназначено для экономистов.
(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)
Моделирование
является универсальным принципом человеческого познания. В глубокой древности,
чтобы узнать, сколько будет овец в стаде, если соединить две отары, заменяли
овец камешками или палочками и пересчитывали их вместо овец. Потом появился
абак, предшественник счетов, а затем и сами счеты, за ними механический
калькулятор, электронный калькулятор, компьютеры. Как бы ни ушел далеко в
техническом отношении современный компьютер от счетов или горстки камешков, принцип
действия в них один – пересчитываются дискретные величины (камешки или
электрические сигналы).
Моделирование
широко применяется в науке. Прежде чем поднять самолет в воздух, модель его
целиком и по частям обдувают в аэродинамической трубе. В медицинских
экспериментах моделью человека выступают животные. Наука и искусство являются
для человека моделью окружающего мира, в т.ч. его самого. Человеческий мозг –
самое совершенное моделирующее устройство, которое нельзя заменить ничем, даже
современным компьютером (разве что в отдельных сторонах деятельности).
При
демонстрации одного из первых компьютеров некий бизнесмен воскликнул: «Да это
же гений!», на что Н.Винер немедленно отреагировал: «Нет! Скорее это круглый идиот, наделенный
феноменальной способностью к счету». Мечта ученых об искусственном интеллекте
остается нереализованной. Возможно, она вообще нереализуема.
Принцип
моделирования весьма прост. Пусть имеется объект А (рис.1.3) над которым
человек собирается совершить некоторые действия, напр., управлять им. Объект А
подвергается внешним воздействиям, множество которых обозначим как вектор ХА.
Элементы этого множества назовем входными величинами. Состояние объекта
описывается множеством параметров, которое обозначим как вектор YА, элементы его назовем выходными величинами. Изменение
во времени YА под
воздействием ХА назовем поведением. YА=F(ХА), т.е. поведение объекта есть функция внешних
воздействий. Именно она интересует исследователя. Выявление этой функции на
самом объекте может быть затруднено по разным причинам (опасно для жизни, дорого,
медленно и т.п.). Тогда исследователь находит другой объект В, похожий
на А (В~А), помещает его в условия, аналогичные условиям А (ХВ~ХА),
и выявляет YВ (поведение
объекта В). Все сказанное означает, что В является моделью А. На основании
сходства между объектами и условиями исследователь заключает, что поведение
объекта А будет аналогично поведению его модели В (YА~YВ).
Важнейшая
проблема моделирования – адекватность (соответствие, совпадение) модели
оригиналу. К модели предъявляются противоречивые требования. С одной стороны,
она должна по возможности полнее совпадать с оригиналом; чем больше такое
совпадение, тем ценнее знание, полученное при исследовании модели. С другой
стороны, модель должна быть как можно более простой, чтобы с ней было легче
оперировать. В разрешении этого противоречия и состоит проблема адекватности
модели. Абсолютно адекватен оригиналу только сам оригинал. От модели не
требуется такого абсолютного совпадения. Она должна соответствовать оригиналу
только в главном, существенном, в том, что интересует исследователя; все несущественное должно быть отброшено.
Требование простоты
и содержательности модели отчетливо просматривается в истории науки. Одно из
таких требований получило название «бритва Оккама». Вильям Оккам –
средневековый философ-схоласт. Ему приписывают слова: «Не следует плодить
лишних сущностей сверх необходимого».
Сущность – это скрытое от наблюдения содержание явления. Сущность –
научная модель, явление – оригинал. Оккам требует – нужно устранить (срезать,
отсюда – «бритва») лишние сущности, т.е. нужно найти как можно более простую
модель, объясняющую данное явление. Выдающемуся российскому генетику
Н.В.Тимофееву-Рессовскому принадлежат слова: «Бог создал природу так, что
все важное просто, а все сложное
не нужно». Американцы говорят: «Он недостаточно умен, чтобы делать простые
вещи». Формула Альберта Эйнштейна Е=mc2 – одна из самых простых и одновременно содержательных научных
моделей. Как говорил А. Энштейн: «Модель должна быть настолько простой,
насколько возможно, но не более того».
Математическая
модель – это описание объекта на математическом языке. Математика – мощный
инструмент, применимый к любым отраслям человеческой деятельности. Можно
выделить три главных этапа математического моделирования. Сначала объект
исследуется методами конкретной науки (физики, экономики, медицины и т.д.).
Затем его существенные свойства описываются на математическом языке, т.е.
создается математическая модель. Теперь можно забыть о физическом,
экономическом или ином содержании модели и исследовать ее чисто математическими
формальными методами. Когда получен математический результат, необходимо
вернуться к конкретной науке и проверить его методами данной науки. Главная
проблема на этом этапе – выявить содержательную связь между
полученными результатами и исходными данными. Если такая связь не
обнаруживается, то это возможно по двум причинам: либо неадекватна модель, либо
допущена ошибка при математическом анализе. Следовательно, нужно исправить
ошибку, либо реконструировать модель и снова проделать анализ. Возможно,
придется несколько раз выполнить все эти процедуры, прежде чем будет получен
удовлетворительный результат.
В
экономико-математическом моделировании самое сложное – увидеть в экономической
проблеме математическое содержание. Для этого требуется хорошо понимать
экономическое содержание проблемы и владеть необходимым математическим
инструментарием.
А
что думают о применении математики в других науках сами математики? Вот что по
этому поводу писал выдающийся русский математик А.Н.Колмогоров. «Приложения
математики весьма разнообразны. Принципиально область применения
математического метода неограниченна… Однако роль и значение математического
метода в различных ситуациях различны. Никакая определенная математическая
схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс
познания конкретного протекает в борьбе двух тенденций: с одной стороны,
выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой
стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода
к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все
трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй
тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к
рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает
на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления
может быть лишь затемнен математической схематизацией. Если, наоборот,
сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают
эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих
зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие
специального математического исследования, в частности, создания специальной
символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадем
в сферу господства математического метода» (БСЭ, т.26, с.464-483).
Если проблема качественно уже хорошо
определена, к ее решению можно применить сложные математические методы. Если же
проблема только постепенно вырисовывается в сознании исследователя, приходится
применять качественные методы анализа, опираясь на интуицию, а не дедукцию.
(НАЧАЛО) (СОДЕРЖАНИЕ)
(ДАЛЕЕ)